вопросом: сколько настроек потребуется 30 000 пианино за 1 год? Наше пятое предположение — что типичное пианино требует настройки раз в год — значит, в Чикаго ежегодно происходит 30 000 настроек пианино. Предположение шестое: настройщик пианино может настроить 2 пианино в день и работает 200 дней в году. Следовательно, один настройщик пианино настраивает 400 инструментов в год. Чтобы удовлетворить общее количество требуемых настроек, в Чикаго должно быть 30000/400=75 настройщиков пианино. Нам нужна оценка, а не точная цифра, поэтому, наконец, мы округляем это число до ровных 100.

Как мы увидим позже, способность Ферми улавливать суть проблемы проявилась, когда он задал вопрос: «Где все?»

Физикам нужно было ответить на множество вопросов, прежде чем они смогли создать бомбу, и именно Ферми ответил на многие из них. 2 декабря 1942 года в импровизированной лаборатории, построенной на корте для сквоша под Западными трибунами стадиона Чикагского университета, группа Ферми успешно осуществила первую самоподдерживающуюся ядерную реакцию. Реактор, или «котел», состоял из блоков очищенного урана — всего около 6 тонн, — расположенных в матрице из графита. Графит замедлял нейтроны, позволяя им вызывать дальнейшее деление и поддерживать цепную реакцию. Управляющие стержни из кадмия, который является сильным поглотителем нейтронов, контролировали скорость цепной реакции. Реактор достиг критичности[6] в 14:20, и первый тест длился 28 минут.

Ферми, с его непревзойденными знаниями в области ядерной физики, сыграл важную роль в Манхэттенском проекте. Он был там, в пустыне Аламогордо, 15 июля 1945 года, всего в 9 милях от эпицентра испытания «Тринити». Он лежал на земле лицом в направлении, противоположном бомбе. Увидев вспышку от мощного взрыва, он поднялся на ноги и бросил из руки маленькие кусочки бумаги. В неподвижном воздухе кусочки бумаги упали бы к его ногам, но когда через несколько секунд после вспышки пришла ударная волна, бумага сдвинулась горизонтально из-за смещения воздуха. Типичным для него образом он измерил смещение бумаги; поскольку он знал расстояние до источника, он смог немедленно оценить энергию взрыва.

После войны Ферми вернулся к академической жизни в Чикагском университете и заинтересовался природой и происхождением космических лучей. Однако в 1954 году у него диагностировали рак желудка. Эмилио Сегре, давний друг и коллега Ферми, навестил его в больнице. Ферми отдыхал после диагностической операции, и его кормили внутривенно. Даже в конце, согласно трогательному рассказу Сегре, Ферми сохранил свою любовь к наблюдению и вычислениям: он измерял скорость потока питательного раствора, считая капли и замеряя время секундомером. Ферми умер 29 ноября 1954 года в раннем возрасте 53 лет.

Парадокс

Это старые милые парадоксы, чтобы дураки смеялись в пивной.

Уильям Шекспир, Отелло, Акт II, Сцена 1

Наше слово «парадокс» происходит[7] от двух греческих слов: para, означающего «против», и doxa, означающего «мнение». Оно описывает ситуацию, в которой наряду с одним мнением или интерпретацией существует другое, взаимоисключающее мнение. Слово приобрело множество слегка различающихся значений, но в основе каждого употребления лежит идея противоречия. Парадокс — это больше, чем просто несоответствие. Если вы говорите «идет дождь, не идет дождь», то вы противоречите себе, но парадокс требует большего. Парадокс возникает, когда вы начинаете с набора кажущихся самоочевидными предпосылок, а затем выводите заключение, которое их подрывает. Если ваш железобетонный аргумент доказывает, что должен идти дождь, но вы выглядываете и видите, что на улице сухо, то у вас есть парадокс, который нужно разрешить.

Рис. 2.2 Визуальный парадокс. Эта невозможная фигура — треугольник Пенроуза. Он назван в честь Роджера Пенроуза, британского математика, который придумал его в 1950-х годах. (Впервые он был создан еще раньше, в 1934 году, шведским художником-графиком Оскаром Реутерсвардом.) Иллюстрация, кажется, показывает трехмерное треугольное тело, но такой треугольник невозможно построить. Каждая вершина треугольника Пенроуза на самом деле является перспективным видом прямого угла. Художники, такие как Эшер и Реутерсвард, с удовольствием представляли визуальные парадоксы. (Источник: Tobias R.)

Слабый парадокс или заблуждение часто можно прояснить, немного подумав. Противоречие обычно возникает из-за ошибки в логической цепочке, ведущей от предпосылок к заключению. Например, начинающие студенты алгебры часто строят «доказательства» очевидно неверных утверждений, таких как 1 + 1 = 1. Такие «доказательства» обычно содержат шаг, на котором уравнение делится на ноль. В этом и заключается источник заблуждения, поскольку деление на ноль недопустимо в арифметике: если вы делите на ноль, вы можете «доказать» все что угодно.

Однако в сильном парадоксе источник противоречия не очевиден сразу; могут пройти столетия, прежде чем вопрос будет разрешен. Сильный парадокс способен бросить вызов нашим самым заветным теориям и убеждениям. Действительно, как однажды заметил математик Анатоль Рапопорт[8]: «Парадоксы сыграли драматическую роль в истории мысли, часто предвещая революционные разработки в науке, математике и логике. Всякий раз, когда в какой-либо дисциплине мы обнаруживаем проблему, которую невозможно решить в рамках концептуальной структуры, которая предположительно должна применяться, мы испытываем шок. Шок может заставить нас отбросить старую структуру и принять новую».

Парадоксы изобилуют в логике, математике и физике, и найдется тип на любой вкус и интерес.

Несколько логических парадоксов

Старый парадокс, над которым размышляли философы с середины IV века до н. э. и который обсуждается до сих пор, — это парадокс лжеца. Его древнейшее приписывание — Евбулиду Милетскому, который спросил: «Человек говорит, что он лжет; истинно или ложно то, что он говорит?» Как бы ни анализировать это предложение, возникает противоречие. Тот же парадокс встречается в Новом Завете. Св. Павел в своем послании к Титу, первому епископу Крита, писал: «Один из них самих, даже пророк их собственный, сказал: критяне всегда лжецы». Неясно, осознавал ли Павел проблему в своем предложении, но когда допускается самореференция, парадокс почти неизбежен.

Одним из важнейших инструментов рассуждения, которыми мы обладаем, является сорит. На языке логиков сорит — это цепь связанных силлогизмов: предикат одного утверждения становится субъектом следующего утверждения. Приведенные ниже утверждения образуют типичный пример сорита:

все вороны — птицы;

все птицы — животные;

всем животным для выживания нужна вода.

Следуя по цепочке, мы должны логически заключить: всем воронам для выживания нужна вода.

Сориты важны, потому что они позволяют нам делать выводы, не охватывая все возможные случаи в эксперименте. В приведенном выше примере нам не нужно лишать ворон воды, чтобы знать, что это приведет к их смерти от жажды. Но иногда вывод сорита может быть абсурдным: мы имеем парадокс сорита. Например, если мы согласны с тем, что добавление одной песчинки к другой песчинке не создает кучу песка, и учитывая, что одна песчинка сама по